含有d电子或f电子的体系是属于强关联电子体系，如过渡金属氧化物、稀土元素以及稀土化合物等材料，其电子间存在强烈的在位库仑相互作用。而交换相关泛函中的局域密度近似（LDA）或广义梯度近似（GGA）对电子之间的强在位库仑相互作用描述不准确。因此需要对DFT计算理论进行扩展，最简单的方法是在这两种泛函（LDA、GGA）的基础上加一个Hubbard参数U，这就是DFT+U理论。

E_DFT+U = E_DFT + E_U

将研究体系的轨道分隔成两个子体系（subsystem），其中一部分是一般的DFT算法（如LDA，GGA）等可以比较准确描述的体系，另一部分是d以及f轨道电子通过引入Hubbard项得到正确的描述。

通常U值是一个经验性参数，对于相同元素的不同晶体配位环境，U值通常也不同，需要查找相关文献上U值的使用，以及多次测试U值的大小来确定最适宜的U值。通常测试U是否合适主要看以下一些信息：磁矩是否与实验值吻合，磁基态是否和实验吻合，能带定性上是否和实验吻合（不要追求能隙吻合，LDA和GGA本来就低估能隙）等等。如果是自己预测的体系，建议不同的U值都测试一遍，看看U值对性质影响是否很大。

操作步骤

(1) VASP中DFT＋U计算参数设置

在INCAR中设置以下参数：

LDAU= .TRUE.|.FALSE.      开启/关闭+U功能，默认值为.FALSE.；

LDAUTYPE=1|2|4     +U的类型：1是Liechtenstein等提出的旋转不变LSDA+U方法；2是 Dudarev等提出的简化 LSDA+U方法；4与1类似, 但不考虑LSDA交换劈裂。默认值是2。

LDAUL=-1|1|2|3       -1表示不加U；1|2|3分别表示 p、d、f轨道加U。

LDAUU=                  U值。

LDAUJ=                   J值。

LMAXMIX =2/4/6       设置线性混合参数，2-p轨道；4-d轨道；6-f轨道。

注意：1. LDAUL、LDAUU、LDAUJ这三个参数设置的顺序应与POSCAR文件中的元素的顺序对应一致。

2. 有效U参数=U-J。且只有当LDAUTYPE =2时，U-J的差值才有意义。一般情况下，J值比U小一个数量级。

3. U值的大小可从文献中查找。对于过渡金属，Ti，V，Cr，Mn，Fe，一般U值典型值大约为3.0 eV，多为2.0-4.0 eV之间。对于稀土氧化物，U值多为4-7 eV。

我们以TiO2为例，体系中有两种元素Ti和O，O不加U，Ti的d轨道修正（U-J），POSCAR中元素顺序为Ti、O，则LDAUL、LDAUU、LDAUJ这三个参数的设置应为

LDAUL= 2 -1

LDAUU= 4 0

LDAUJ= 0.5 0

(2) 如何选取合适的U值

VASP官网给出的方法为Cooccioni等人(Phys. Rev. B 2005, 71, 035105)提出的线性响应法。通过给单个原子施加一个外加的有效库伦、交换相互作用项（LDAUU、 LDAUJ），导致该原子的d/f轨道电荷密度（占据数）重新分配，计算该原子d/f轨道电荷占据数对外加的有效库伦、交换相互作用项的一阶偏导（线性响应系数）大小，从而可得到体系中该原子的U值大小。线性响应系数为：

其中，∂N^SCF/NSCF是自洽和非自洽计算+U原子d/f轨道电荷占据数的变化量，；∂V是外加的有效库伦、交换相互作用项的变化量。

U值根据下式计算：

其中，X_SCF 和X_NSCF是自恰和非自洽计算得到的线性响应系数。

线性响应系数计算步骤：

1. 非自洽计算：设置LDAUU、 LDAUJ，计算非自洽计算得到的加U原子d/f轨道电荷占据数；

2. 自洽计算：设置LDAUU、 LDAUJ，计算自洽计算得到的加U原子d/f轨道电荷占据数；

3. 改变不同的LDAUU = LDAUJ值，得到非自洽和自洽计算的线性响应系数，代入公式计算得到U值。

在VASP官网中，给出了关于NiO的Ni-d电子的U值计算。通过计算不同的LDAUU = LDAUJ值，得到了线性响应结果如下。

将线性响应结果代入公式计算得到NiO中Ni-d电子的U值为5.58 eV。

Bengone等人（Phys. Rev. B. 2000, 62, 16392）使用了不同的U值进行NiO的LDA+U计算。当使用U=5 eV时，得到了2.8 eV的光学带隙，和实验光吸收光谱之间有很好的一致性。